Công thức tính thể tích các khối tròn xoay đặc biệt chi tiết nhất – Toán lớp 12
1. Khối chỏm cầu
Chỏm cầu thu được khi ta dùng một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu
Là phần màu xanh trong hình vẽ
– Các đại lượng:
+ Phần mặt cầu bị cắt là mặt đáy chỏm cầu có dạng hình tròn và bán kính là a
+ Khoảng cách từ mặt đáy tới đỉnh của chỏm là chiều cao h
– Công thức tính diện tích xung quanh
Sxq=2πrh
Hoặc
Sxq=πa2+h2
Trong đó: r là bán kính mặt cầu ; h là chiều cao của chỏm và a là bán kính đáy chỏm.
– Công thức tính thể tích chỏm cầu
V=πh2.r−h3
Hoặc
V=πh63a2+h2
2. Khối tròn xoay dạng đặc biệt
– Được tạo thành khi quay đường gấp khúc SMA quanh trục SO.
– Về mặt hình dạng: Gồm 2 phần
+ Hình nón bên trên
+ Hình trụ bên dưới
– Các đại lượng
+ Chiều cao SO (h)
+ Chiều cao hình trụ OI (l)
+ Bán kính đáy (r)
– Công thức tính diện tích xung quanh: Là tổng diện tích 2 phần
Sxq=2πrl+πrh−l2+r2
– Công thức tính thể tích: Là tổng thể tích 2 phần
V=πr2l+13πr2h−l
3. Ví dụ áp dụng
VD1. Tính diện tích xung quanh và thể tích chỏm cầu trong các trường hợp
a. r=5cm; h=10cm
b. a=4dm; h=6dm
Lời giải:
VD2. Một gia đình có bồn tắm có bề mặt phẳng và lòng trong như hình vẽ dưới. Lòng trong của bồn tắm có hình dạng bán cầu, mất đi chỏm cầu. với r là bán kính khối cầu, h là chiều cao của chỏm cầu và OH=22m . Thể tích m3 lòng trong của bồn tắm là
Lời giải:
Gọi V là thể tích lòng trong của bồn tắm cần tính
V1 là thể tích của nửa quả cầu bán kính r
V2 là thể tích của nửa khối chỏm cầu như hình vẽ
⇒V=V1−V2
Xét tam giác OAB vuông cân tại O đường cao OH=22⇒r=OA=1
⇒Chiều cao chỏm cầu là: h=r−OH=1−22
Khi đó V1=12.43πr3=23π
V2=12πh2.r−h3=12π.1−222.1−1−223=8−5224π⇒V=V1−V2=8+5224π
VD3. Một chiếc bút chì được thiết kế phần thân bút là hình trụ và đầu bút là hình nón như hình vẽ
Biết rằng chiều dài của bút là 12cm; đường kính đáy bằng 2cm và phần thân bút dài 10cm. Tính thể tích của chiếc bút.
Lời giải:
VD4. Một công ty sản xuất cốc đựng trà sữa có dạng phần thân là hình trụ và nắp đậy là chỏm cầu. Biết phần thân có bán kính đáy bằng 3cm, phần nắp đậy được tính riêng (hình vẽ minh họa). Chi phí sản xuất cốc là bao nhiêu biết phần thân có giá 1000 đ/dm2 và phần nắp có giá 1500 đ/dm2.
Lời giải:
Gọi S là diện tích của cốc đựng trà sữa
S1 là diện tích phần thân hình trụ bán kính r=3cm; chiều cao h=10cm
⇒S1=2π.3.10=60π cm2=35π dm2
⇒Chi phí sản xuất là:
35π.1000≈1885đồng
S2 là diện tích phần chỏm cầu bán kính a=3cm; chiều cao h=4cm
⇒S2=π32+42=25π cm2=14πdm2
⇒Chi phí sản xuất là: 14π.1500≈1178đồng
Vậy tổng chi phí là khoảng 3600 đồng.
