Cách giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và bậc nhất hai ẩn

Các em học sinh thân thương, trong chương trình toán học ở cấp Trung học Cơ sở và cấp Trung học Phổ thông, kiến thức về phương trình và hệ phương trình thực sự rất quan trọng và chắc chắn chúng sẽ có trong những kỳ thi lớn của các em. Và nếu như các em đang loay hoay với bất phương trình và cần tìm những kiến thức tổng hợp bên ngoài thì bài viết này là dành cho các em đó. Bài viết sẽ về cách giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và bậc nhất hai ẩn.

A. LÝ THUYẾT: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

– Hệ bất phương trình ẩn x gồm hai hoặc nhiều bất phương trình ẩn x mà nhiệm vụ của ta là phải tìm nghiệm hoặc tập nghiệm chung của chúng.

– Mỗi giá trị của x đồng thời cũng là nghiệm của tất cả các bất phương trình nằm trong hệ được gọi là một tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho trước.

– Giải hệ bất phương trình có nghĩa là tìm tập nghiệm của nó.

– Cách để giải một hệ bất phương trình là ta sẽ giải từng bất phương trình một rồi lấy giao của các tập nghiệm đã tìm được, đó là nghiệm của hệ.

II. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

– Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm có hai hoặc nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ẩn x và ẩn y. Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình trong hệ đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

– Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có tập hợp các điểm (x0; y0) có tọa độ là những nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thì được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Ví dụ 1:

Hệ phương trình trên là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y gồm hai bất phương trình là: x + 2y < 3 và y – 2x > 0

Ví dụ 2:

Hệ phương trình trên không là hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn vì bất phương trình x² + y² < 5 là bất phương trình bậc hai hai ẩn.

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình sau, cặp số (x ; y) nào trong các cặp (3; 1), (– 1; 0), (4; – 1) là nghiệm của hệ bất phương trình dưới đây?

Hướng dẫn giải:

– Thay x = 3, y = 1 vào hai bất phương trình của hệ, ta có:

2 . 3 + 1 = 7 > 0 là mệnh đề đúng;

3 – 3 . 1 = 0 < 6 là mệnh đề đúng.

Vậy (3; 1) là nghiệm chung của (1) và (2), do đó (3; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình.

– Thay x = – 1, y = 0 vào bất phương trình (1), ta có:

2 . (– 1) + 0 = –2 > 0 là mệnh đề sai;

(– 1) – 3 . 0 = –1 < 6 là mệnh đề đúng.

Vậy (– 1; 0) không là nghiệm của (1), do đó (– 1; 0) không phải nghiệm của hệ bất phương trình.

– Thay x = 4, y = –1 vào bất phương trình (2) của hệ, ta có:

2 . 4 + (– 1) = 7  > 0 là mệnh đề đúng;

4 – 3 . (– 1) = 7 < 6 là mệnh đề sai.

Vậy (4 ; – 1) không là nghiệm của (2), do đó (4 ; – 1) không phải nghiệm của hệ bất phương trình.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình nằm trong hệ.

Để biểu diễn được miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta sẽ làm các bước như sau:

– Trong cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ đi phần không thuộc miền nghiệm của nó.

– Phần không bị gạch sẽ là miền nghiệm ta đang tìm.

Ví dụ: Biểu diễn trên mặt phẳng Oxy miền nghiệm của hệ bất phương trình:

Hướng dẫn giải

– Vẽ 3 đường thẳng

d1: x + y = –2,

d2: x – y = 1

d3: 2x – y = –1.

– Toạ độ điểm (0; 0) là nghiệm của các bất phương trình (2) và (3), không phải nghiệm của bất phương trình (1).

Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch kể cả đường thẳng d2 và không kể đường thẳng d1 và d­3.

B. BÀI TẬP: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải các hệ bất phương trình sau:

Hướng dẫn giải bài:

Bài 2: Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ bất phương trình khi m = 1

b) Tìm m để hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x

Hướng dẫn giải bài:

Bài 3: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Hướng dẫn giải bài:

a)

Hệ bất phương trình là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có hai bất phương trình x < 1 và y – 1 > 2 đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b)

Hệ bất phương trình không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có bất phương trình x² + y < 0 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

c) y – 2x < 0 không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chỉ có một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d)

Hệ bất phương trình là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có hai bất phương trình 2x – y < 5 và 4x + 3y > 10^10 đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 4: Xác định miền nghiệm của các hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải bài:

Trên đây là bài viết cách giải hệ bất phương trình, các em học sinh đã nắm rõ được kiến thức chưa nào? Bài viết trên rất cô đọng kiến thức nhưng vẫn rất đầy đủ và được biên soạn kỹ lưỡng dựa theo sách giáo khoa của các em. Vậy nên chỉ cần học kỹ những kiến thức nêu trên thì các em đã có thể vượt qua những bài kiểm tra một cách dễ dàng rồi. Để các em nắm vững được kiến thức hơn thì các em hãy tìm thật nhiều bài tập khác để làm thêm. Các em đừng ngại khó cũng như đừng ngại hỏi nhé. Nếu gặp bài khó thì các em luôn có thể hỏi bạn bè và thầy cô của mình. Xin chào và hẹn gặp lại các em trong các bài viết sau!