Mệnh đề là gì? Mệnh đề chứa biến là gì?

Mệnh đề nằm trong chương mở đầu của sách giáo khoa đại số lớp 10 và để học tốt toán 10 các em cần nắm vững kiến thức ngay từ bài học đầu tiên. Vì vậy trong bài viết này chúng ta sẽ cùng Cô Phương Anh  ôn lại kiến thức.

I. Mệnh đề 

Khái niệm mệnh đề 

Trong toán học, một mệnh đề là một câu hoặc phát biểu có thể được đánh giá là đúng (true) hoặc sai (false). Một mệnh đề thường được ký hiệu bằng một chữ cái hoặc một ký hiệu và được sử dụng để xác định một phát biểu nào đó trong lý thuyết hoặc bài toán.

Ví dụ: 

 Phủ định của một mệnh đề

Trong toán học và logic, phủ định của một mệnh đề là mệnh đề có giá trị đúng/ngược lại so với mệnh đề gốc. Nói cách khác, phủ định của một mệnh đề là mệnh đề chứa từ “không” hoặc “not” và có nghĩa là phủ định của mệnh đề ban đầu.

Ví dụ, phủ định của mệnh đề “số 5 là số lẻ” là “số 5 không là số lẻ” hoặc “số 5 là số chẵn”. Chúng ta có thể sử dụng ký hiệu “~” hoặc “not” để biểu diễn phủ định của một mệnh đề.

Ví dụ:

• Mệnh đề P: “Điện thoại của tôi là iPhone”.
• Phủ định của P: “Điện thoại của tôi không phải là iPhone” hoặc “~P”.
• Mệnh đề Q: “Sân bay nằm ở ngoại ô thành phố”.
• Phủ định của Q: “Sân bay không nằm ở ngoại ô thành phố” hoặc “~Q”.

Cho mệnh đề P, mệnh đề không phải P được gọi là mệnh đề phủ định của P.

Kí hiệu: 

Ví dụ: 
Mệnh đề kéo theo 

Mệnh đề kéo theo (Implication) là một mệnh đề được sử dụng để liên kết hai mệnh đề với nhau. Nó có dạng “nếu A thì B” hoặc “A thì B”, trong đó A và B là hai mệnh đề bất kỳ.

Mệnh đề kéo theo nói rằng nếu mệnh đề A là đúng, thì mệnh đề B cũng phải đúng, nếu mệnh đề A là sai, thì mệnh đề B có thể đúng hoặc sai. Tức là, mệnh đề kéo theo là một loại liên kết điều kiện.

Ký hiệu toán học của mệnh đề kéo theo là “A => B” hoặc “A ⊃ B”, trong đó “=>” hoặc “⊃” được đọc là “kéo theo”.

Mệnh đề có dạng: “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo.

Kí hiệu: 

Ví dụ: 

Vậy khi nào mệnh đề này là đúng, mệnh đề kia là sai? Để phân biệt tính đúng sai của mệnh đề ta có bảng sau:

Chú ý:

Điều kiện đủ là khi P xảy ra thì chắc chắn có Q. Điều kiện cần là khi Q xảy ra thì chưa chắc P xảy ra.

Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương

a, Mệnh đề đảo

Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q

Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q

P ⇒ Q: “Nếu P thì Q” thì mệnh đề đảo là Q ⇒ P: “Nếu Q thì P”

Ví dụ: 

P: “Tứ giác là hình bình hành”

Q: “Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”

b, Hai mệnh đề tương đương

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” hoặc  “P khi và chỉ khi Q” được gọi là mệnh đề tương đương. 

Kí hiệu: P ⟺ Q

Cách xét đúng sai của hai mệnh đề: 

Ví dụ: 

Chú ý: 

II. Mệnh đề chứa biến

Một mệnh đề chứa biến là một mệnh đề mà trong đó có chứa một hoặc nhiều biến. Biến là một ký hiệu đại diện cho một giá trị bất kỳ, có thể là số, đối tượng, hay bất cứ thứ gì khác tùy thuộc vào ngữ cảnh và bối cảnh sử dụng.

Ví dụ, “x > 2” là một mệnh đề chứa biến, trong đó biến “x” có thể thay đổi giá trị. Nếu ta gán giá trị cho biến “x” là 3, thì mệnh đề sẽ trở thành “3 > 2” và là một mệnh đề đúng. Tuy nhiên, nếu ta gán giá trị cho biến “x” là 1, thì mệnh đề sẽ trở thành “1 > 2” và là một mệnh đề sai.

Một mệnh đề chứa biến có thể được đánh giá là đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến đó. Đôi khi ta cần phải tìm ra các giá trị của biến để mệnh đề trở thành đúng. Quá trình này được gọi là giải phương trình hoặc hệ phương trình, tùy thuộc vào số lượng biến trong mệnh đề.

Mệnh đề chứa biến

Xét câu “n chia hết cho 3”

n=1 ⇒ “1 chia hết cho 3” là mệnh đề sai

n=9 ⇒ “9 chia hết cho 3” là mệnh đề đúng

Những câu khẳng định mang tính chất đúng sai phụ thuộc vào biến được gọi là mệnh đề chứa biến.

Ví dụ: 

Kí hiệu với mọi, tồn tại 

a. Kí hiệu với mọi

Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x thuộc X

Khẳng định: “Với mọi x thuộc X, P(x) đúng” hay “P(x) đúng với mọi x thuộc X” là một mệnh đề

Kí hiệu:  Ví dụ: 

Xét tính đúng sai:

b. Kí hiệu tồn tại

Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x thuộc X

Khẳng định: “Tồn tại x thuộc X, P(x) đúng” là một mệnh đề

Kí hiệu:

Ví dụ: 

Xét tính đúng sai: 

Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa mọi

Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x thuộc X

Ví dụ: 

Hy vọng với bài viết kèm video giảng dạy của thầy Lưu Huy Thưởng về mệnh đề và mệnh đề chứa biến sẽ giúp ích cho các em trong quá trình nhập môn đại số 10.